dirac246の日記

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対称性変換の生成子，Noether charge，場の演算子との交換関係

物理

BRS変換やSupersymmetryをやっているとあれこれチャージが出てくるので，ちょっと理解をまとめておく．

 

* 対称性変換の生成子

状態の対称性変換（ユニタリ変換U）
無限小変換 U[ε] = exp(iεQ)
合成変換 U[ε1] * U[ε2] = U[ f(ε1,ε2) ]
  => リー代数&構造定数 [Qa,Qb] = i*fabc*Qc
 
* Noether charge
場の対称性変換による無限小変化量 δφ（=リー代数の生成子）
Noether charge = ∫π*δφ (電荷密度〜正準運動量 * 場の変化量)
 
* 場の演算子と状態
状態がユニタリ変換V（抽象的な変換）を受ける（Heisenberg描像）
<a|V* φ V|b> = <a|(1-iεQ') φ (1+iεQ')|b> = <a|φ|b> + ε<a|[φ,iQ']|b> + ...
場が変換を受ける（Schrodinger描像）
<a|φ + δφ|b> = <a|φ|b> + i*ε*<a|Qφ|b>
両辺を等しいとすると
[ φ, iεQ' ] = iεQφ    （Q'は抽象的な生成子，Qは具体的表現）
Q', Qがspinorのときはεもspinorになる
  [ φ, iεQ' ] = -iε { φ, Q' }